已知a1＞0，an+1＝1/2（an+1/an），n＝1,2,.....,证明此数列有极限并求之
数列an有极限，且极限等于1。 解：因为an+1＝1/2（an+1/an），且a1＞0。 那么an＞0， 则an+1＝1/2（an+1/an）≥1/2*2*√(an*1/an)=1。 即an有下限，且下限为1。 又an+1-an=1/2(an+1/an)-an =1/2(1/an-an) =(1-(an)^2)/an≤0。 那么liman存在，记作a，则≥1。 那么根据an+1＝1/2（an+1/an）， 两边同时取极限，则可求得a=1。 即an的极限为1。
数列{an}的极限为A,证明(a1+a2+...+an)/n的极限=A
lim(n->∞) an =a ,求证：lim(n->∞) (a1+a2+..+an)/n=a
证明：
① 对任意 ε>0 ,
∵ lim(n->∞) an =a
对 ε/2 >0 ,存在 N1,当n>N1时,|an-a| max{ M ,N1} 时:
|(a1+a2+..+an)/n - a|
≤ (|a1-a|+|a2-a|+...+|aN1-a|)/n +(|a(N1+1)-a|+...+|an-a|)/n
≤ ε/2 +(n-N1)*ε/2/n ≤ ε/2+ε/2 = ε
② 故存在 N = max{ [M] ,N1} ∈Z+
③ 当 n>N 时,
④ 恒有：|(a1+a2+..+an)/n - a| < ε 成立.
∴ lim(n->∞) (a1+a2+..+an)/n=a
{本题最简洁的方法是直接套 O'Stoltz 定理即可}
逆命题不成立,如反例 :
an = (-1)^n
lim(n->∞) (a1+a2+..+an)/n = 0 ,但:
an = (-1)^n 发散.
已知数列{An}中，A1=1,AnAn+1=(1/2)^n
AnAn+1=(1/2)^n
AnAn-1=(1/2)^n-1
An-1An-2=(1/2)^n-2
:
a2*a1=1/2^1
an*a1==(1/2)^n-1*(1/2)^n-2*(1/2)^n-3……*1/2^1=1/2^[(1+n-1)(n-1)/2]=1/2^[n(n-1)/2]
an=1/2^[n(n-1)/2]
A2n=1/2^[2n(2n-1)/2]
A(2n-1)=1/2^[(2n-1)(2n-2)/2]
数列{A2n}与{A(2n-1)}都是等比数列
T2n=[1-1/2^[2n(2n-1)/2*1/2]]/[1-1/2]=OK
64*T2n*A2n≤3*(1-k*A2n)
带入求解即可